Mathematikgebäude, Seminarraum M614/616 (6. Etage)

Stochastische Differentialgleichungen (DGL) beschreiben das Änderungsverhalten von Größen unter dem Einfluss eines stochastischen Rauschterms. Solche Gleichungen sind in sehr verschiedenen Anwendungsdisziplinen nützlich. Zum Beispiel können Aktienkurse, chemische Reaktionen oder auch turbulente Strömungen durch stochastische DGL beschrieben werden, und stochastische DGL sind ein Hilfsmittel in der Analyse statistischer Algorithmen. In diesem Vortrag werde ich eine Klasse stochastischer partieller DGL aus der statistischen Physik vorstellen. Diese Klasse beinhaltet das $\Phi^4$ Modell und die KPZ Gleichung. Diese Gleichungen treten auf natürliche Weise als Skalenlimiten von mikroskopischen Modellen auf. Die KPZ Gleichung beschreibt die Fluktuationen in der Evolution von Trennflächen, das $\Phi^4$ Modell beschreibt die Fluktuationen der Magnetisierungsdichte eines Ferromagneten in der Nähe der kritischen Temperatur. Die mathematische Behandlung dieser Gleichungen ist eine interessante Herausforderung. Der Term, der in diesen Gleichungen das zufällige Rauschen beschreibt, ist sehr irregular - zu irregulär um die üblichen Lösungsmethoden für (deterministische) partielle DGL anzuwenden. Es ist oft nicht einmal direkt klar, wie eine Gleichung zu interpretieren ist, und manchmal müssen ``unendliche Terme`` abgezogen werden um Lösungen zu konstruieren. Ich werde die kurz die Lösungstheorie dieser Gleichungen erklären und erläutern, warum diese ``unendlichen Terme`` auftreten und wie sie zu interpretieren sind. Außerdem werde ich ein Approximationsresultat für numerische Verfahren vorstellen. Des Weiteren werde ich das asymptotische Verhalten für einen verschwindenden Rauschterm diskutieren. Zuletzt möchte ich einige interessante offene Fragen präsentieren.

Dr. Hendrik Weber

University of Warwick, UK