Mathematikgebäude, Seminarraum E27

Wir bezeichnen eine Differentialgleichung als Interface-Problem, wenn es einen inneren Kopplungsrand gibt, entlang dem sich der Typ der Gleichung, oder aber die Parameter der Gleichung ändern. Die Regularität der Lösung ist an diesem Kopplungsrand üblicherweise reduziert. Beispiele für Interface-Probleme finden sich in der Struktur-Mechanik, wenn inhomogene Materialien mit unterschiedlichen Strukturparametern betrachtet werden, aber auch bei Mehrphasenströmungen. Speziell betrachten wir Probleme der Strukturmechanik mit aktivem Materialverhalten, mit Wachstum, Materialänderung, z.B. durch Materialschädigung und Heilung. Hier kommt als zusätzliche Schwierigkeit hinzu, dass sich das Interface im Laufe der Zeit bewegt.
Für einfache elliptische und parabolische Interface-Probleme führen wir ein Finite-Elemente Verfahren ein, von dem wir optimale Konvergenzordnung bezüglich örtlicher und zeitlicher Diskretisierung nachweisen können. Die örtliche Diskretisierungskomponente basiert auf einer lokal angepassten Finite-Elemente Basis, die das Interface akkurat berücksichtigt. Zur zeitlichen Diskretisierung betrachten wir die effiziente Approximation eines angepassten zeitlichen Galerkin-Ansatzes. Für parabolische Interface-Probleme können wir quadratische Konvergenz sowohl analytisch als auch durch numerisch nachweisen.

Prof. Dr. Thomas Richter

Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg