Mathematikgebäude, Seminarraum M614/616 (6. Etage)

In den letzten zwei Jahrzehnten haben Bourgain und Burq-Gerard-Tzvetkov in mehreren wegweisenden Arbeiten Wohlgestelltheitsresultate für nichtlineare Schrödingergleichungen auf kompakten Mannigfaltigkeiten im subkritischen Regime bewiesen. In diesem Vortrag betrachten wir einen skalierungskritischen Fall: die quintische Schrödingergleichung auf dreidimensionalen kompakten Mannigfaltigkeiten für Anfangsdaten im Energieraum. Im Jahr 2011 wurde dafür das erste globale Wohlgestelltheitsergebnis auf dem Torus für kleine Anfangsdaten in einer gemeinsamen Arbeit mit Daniel Tataru und Nikolay Tzvetkov bewiesen. In weiteren Arbeiten konnte eine allgemeine Strategie zur Lösung dieses Cauchy-Problems entwickelt werden, die hier vorgestellt werden soll. Diese basiert auf einer gewissen tri-linearen Abschätzung für freie Lösungen, welche hinreichend für die globale und in einer schwachen Form auch notwendig für die lokale Wohlgestelltheit ist. Die Gültigkeit dieser tri-linearen Abschätzung konnte neben dem Torus in weiteren wichtigen Spezialfällen, wie unter anderem der Sphäre, nachgewiesen werden.

Prof. Dr. Sebastian Herr

Universität Bielefeld