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Ich untersuche den Körper K=R(x,y), x^2+y^2 = -1, als ein Beispiel von nicht- reellen Funktionenkörpern einer Veränderlichen, die nach der Langschen Vermutung alle C1-Körper sein müssten. Auf der Basis dieser Vermutung erhält man obere Schranken für die höheren Stufen s(2n), d.h. minimale Länge der Darstellung von -1 als Summe 2n-ter Potenzen. Für den obigen Körper würde folgen s(4)<=4. Bisher konnte ich beweisen s(4)>=3. Die Beweise benutzen die Standardbewertungstheorie von Funktionenkörpern mit ein bisschen Riemann-Roch. Man erhält ein explizites System von Primelementen über einen Ganzheitsring, der Hauptidealring ist, mittels derer man direkt sieht, dass die normale Stufe und die Pythagoraszahl den Wert 2 haben. Der Übergang von K zu K(i) spielt ebenfalls eine Rolle und erinnert in der Methodik sehr an die Benutzung von Q(i), um Aussagen über Q zu gewinnen.

Prof. em. Dr. E. Becker

Dortmund