Mathematikgebäude, Seminarraum M1011 (10. Etage)

Wir betrachten Galerkin Approximationen für stetige lineare Probleme. Sind die Diskretisierungen inf-sup stabil, so sind die Galerkin Lösungen im Ansatzraum quasi optimal, d.h. optimal bis auf eine Konstante. Dabei hängt die Konstante von der Stabilität der Diskretisierung und der Stetigkeit des Problems ab.
Für elliptische partielle Differentialgleichungen ist dieses Prinzip als Lemma von Cea bekannt. Es ist elementar wichtiger Bestandteil sowohl der a priori Konvergenzanalyse als auch der Konvergenz- und Optimalitätsanalysis für adaptive Finite Elemente Methoden.
In der Numerischen Analysis parabolischer Differentialgleichungen wird die inf-sup Stabilität bisher selten verwendet. Zwar können so trotzdem oft Fehlerabschätzungen mit optimalen Raten bewiesen werden, diese gelten jedoch meist nur für schwächere Normen.
Im Vortrag verschaffen wir uns zunächst einen Überblick über Ergebnisse in der elliptischen Theorie. Daraufhin zeigen wir die inf-sup Stabilität und somit die quasi-Optimalität adaptiver impliziter Euler Petrov-Galerkin Diskretisierungen für parabolische Gleichungen. Mit Hilfe eines Interpolationsoperators erhalten wir daraus eine a priori Abschätzung und folgern als eine Konsequenz, dass ein „Gegenbeispiel“ von T. Dupont, bei dem die Approximationen nicht gegen die Lösung konvergieren, scharf ist.
Abschließend werden wir offene Projekte und sich daraus ergebende potentielle zukünftige Projekte diskutieren.

Prof. Dr. Christian Kreuzer

Ruhr-Universität Bochum