Mathematikgebäude, Seminarraum E27

Technische Bauteile oder physikalische Modelle weisen vielfach Strukturen mit sehr unterschiedlichen Skalen auf, die sich mit numerischen Algorithmen direkt nur mit erheblichem Aufwand auflösen lassen. Für die numerische Modellierung attraktiv sind Modelle oder Hierarchien von Modellen, die die kleinen Skalen nur effektiv mitnehmen. Oder man konstruiert optimale Basisfunktionen aus der asymptotischen Lösungsdarstellung, die die kleinen Skalen enthalten.
Eine weitere Herausforderung für numerische Verfahren ist das singuläre Lösungsverhalten, insbesondere durch in der Ingenieurpraxis verwendete geometrische Strukturen mit Ecken und Kanten. Singuläre Lösungen lassen sich effektiv durch adaptive Finite-Elemente- Methoden (FEM) oder Randelementemethoden (BEM) mit einer Verfeinerung in der Nähe der Ecken und Kanten auflösen, wobei die a priori-Theorie auf einer Lösungsdarstellung in der Umgebung der Ecke oder Kante basiert. Die Theorie von h-adaptiven FEM auf graduierten Gittern oder hp-adaptiven FEM auf geometrisch verfeinerten Gittern für singuläre Lösungen basiert auf einer Lösungsdarstellung in der Umgebung der Ecke oder Kante. Zudem können die singulären Funktionen in der Lösungsdarstellung zur Anreicherung der Finite-Elementräume benutzt werden, die nun als verallgemeinerte FEM bezeichnet werden.
In dem Vortrag möchte ich die Herausfordungen von numerischen Verfahren zur effizienten und effektiven Auflösung von partiellen Differentialgleichungen (i) mit singulärem Verhalten, (ii) mit mehreren Skalen und (iii) mit einer Interaktion von Singularität und Mehrskalencharakter diskutieren.

Dr. Kersten Schmidt

Technische Universität Berlin