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1893 bewies Schatunowsky, dass 30 die grösste Zahl ist, für die alle Zahlen, die kleiner als sie und teilerfremd mit ihr sind, Primzahlen sind. Sein Beweis benutzte den Tschebyscheffschen Satz (TS: Es gibt eine Primzahl wischen n und 2n). Auf Max Dehns Anweisung, fand 1907 sein Schueler H. Bonse einen Beweis, der die Ungleichung p_n^2 < p_1p_2...p_{n-1} , für n>4 anstatt von TS benutzt. Es stellt sich die Frage, inwieweit der Schatunowskysche Satz damit aus einem schwächeren Prinzip bewiesen wurde. Die Frage lässt sich genau stellen, wenn man vom Axiomensystem für diskret angeordnete Ringe, PA-, ausgeht, und TS bzw die Bonsesche Ungleichung als zusätzliche Axiome betrachtet. 1975 lösten Erdös und Selfridge eine etwa 150 Jahre alte Aufgabe, indem sie bewiesen, dass das Produkt aufeinanderfolgender Zahlen nie eine Potenz sein kann. Überraschenderweise ist dieser Satz bereits in PA- gültig, es ist also ein Satz der Algebra und nicht einer der Zahltentheorie. Das Gleiche gilt für einen verwandten Satz von Schinzel und Tijdeman aus dem Jahr 1976, der besagt, dass für Polynome P(x) mit rationalen Koeffizienten, die wenigstens zwei einfache Wurzeln haben, die Gleichung y^m=P(x), höchestens endlich viele Lösungen hat mit m und y >1, und x nicht-negative ganze Zahl.

Prof. Dr. Victor Pambuccian

Arizona State University