M/E23

Der berühmte Vier-Quadrate-Satz von Lagrange besagt, dass sich jede natürliche Zahl n schreiben lässt als n = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 mit ganzen Zahlen x,y,z,w. Euler vermutete, dass man für ungerades n immer eine solche Darstellung finden kann mit x + y + z + w = 1. Kürzlich haben Goldmakher und Pollack ein einfaches Kriterium gefunden, dass alle Werte beschreibt, die man erhalten kann als Summen x + y + z + w unter allen möglichen obigen Darstellung von n als Summe von vier Quadraten. Die Eulersche Vermutung ist eine leichte Folgerung aus diesem Kriterium. Wir geben eine neue Interpretation dieses Kriteriums mittels klassischer Ergebnisse von Mordell aus den 1930er Jahren über die Darstellung binärer ganzzahliger quadratischer Formen als Summen von Quadraten von ganzzahligen Linearformen. Diese Sichtweise führt zu weiteren ähnlichen Ergebnissen, wo zum Beispiel Summen von vier Quadraten ersetzt werden durch Summen von m Quadraten für andere Werte von m.

Detlev Hoffmann

TU Dortmund